這是一個數學定理，首先看看定義，什麼是「哥德爾不完備定理」？ 第一不完備定理 任何一個足夠強的一致公設系統，必 […]
這是一個數學定理，首先看看定義，什麼是「哥德爾不完備定理」？
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第一不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統，必定是不完備的。
即除非這個系統很簡單，(所以能敘述的不多)，或是包含矛盾的， 否則必有一真的敘述不能被證明。
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第二不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統，必無法證明本身的一致性。
我將它更直白地翻譯為：
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假設一個系統中全部都是定律，那麼至少存在1個以上的未知。
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假設一個系統中全部都是已知，那麼至少存在1個以上的矛盾。
一個著名的例子：「我在說謊。」
請問，這句話是真還是假？
若是真，那麼有矛盾 (你至少說了1句真話)；
若是假，那麼也有矛盾 (你至少說了1句謊話)。
若你說的話裏面，存在著邏輯、一致性。
則至少存在1個未知：無法透過定律、邏輯、規律，得知「我在說謊。」這句話是真的還是假的？
若是真的則矛盾，若是假的也矛盾。
按照邏輯，我們將被迫承認這句話是未知的，無法找到任何一條定律，用作檢驗這句話的真偽。
按照已知，我們將被迫說出一些自相矛盾的話語，諸如「既是真、亦是假，端看施主如何解讀」。
嘩！同時是真和假，真真假假、假假真真，大師，你這不是科學而是玄學吧？
理髮師悖論
小城裡的理髮師放出豪言：他只為，而且一定要為，城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子。
但問題是：理髮師該為自己刮鬍子嗎？
如果他為自己刮鬍子，那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子；
但如果他不為自己刮鬍子，同樣按照他的豪言「一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。
如果理髮師遵守邏輯，那麼必然無法知道這個問題的答案。
如果理髮師知道這個問題的答案，那麼必然是一個違反邏輯的矛盾答案。
若某人無所不知，則任何問題必然能回答出來，包含下面這道問題。
「本題的答案為『否』嗎？」
答「是」或「否」，都會出現矛盾。
若啞口無言或者回答「我不知道」，則某人並非無所不知。
如果存在一個定理，可以證明真假、因果關係，則它無法證明自己的真假、因果關係。
然而，在數學題上，卻存在著大量使用「反證法」的案例。
中學生一年級的數學題：如何證明三角形的內角和是180度？
最常用的方法便是「反證法」，我們首先假設3種情況：
1. 三角形的內角和大於180度
2. 三角形的內角和小於180度
3. 三角形的內角和恰好等於180度
接著畫出一個平行四邊型，
從可能性1去延伸，最後出現矛盾；
再從可能性2去延伸，又出現矛盾。
從而反證，三角形的內角和，只可能恰好是180度。
但有沒有可能3種都出現矛盾，或者3種都是真的呢？
我們似乎是得到了一個類似於「因為我相信它有邏輯，所以它的邏輯是如此」的可笑答案。
天哪，沒有理由，它就是A呀，如何證明？
而這個例子，僅僅是人們大量使用「反證法」案例中的冰山一角而已。
如果無法同時「知道」與同時「規律」，基於現實情境，
人們寧願接受：有一些未知，但是全部規律；
而不願意接受：全部已知，但是有一些矛盾。
因此，展示在我們眼前的名稱是「哥德爾不完備定理」，
而非「哥德爾不一致定理」(即使取名，仍是有邏輯、規律地)。